Análisis de la No Igualdad de la Curva y la Recta (Extracto)

Introducción

Durante los desarrollos geométricos realizados en el primer texto “La no igualdad de la curva y la recta”, se descubre mediante la investigación basada en el método de la “prueba y el error”, una tendencia a una relación, o patrón, determinado. En la determinación de este patrón mediante un método iterativo de construcción geométrica, se logró un triángulo de superficie igual a la de una circunferencia dada.

Si ABC es un triángulo isósceles de altura 2d y de base igual al perímetro de la circunferencia de diámetro d , su superficie será igual a la superficie de una circunferencia de diámetro 2d.

Siguiendo el desarrollo de este patrón se pudo establecer igualdades de: Perímetros de circunferencia con circunferencias de menor diámetro, e igualdades de perímetros de cuadrado con cuadrados de menor lado. Igualdades de superficies de círculo con círculos de menor diámetro e Igualdades de volumen de esfera con volumen de esferas de menor diámetro.

Para simplificar este estudio, confeccioné 38 Maquetas o formas explicativas para las exposiciones y congresos tanto en diferentes universidades de México, Brasil, Argentina y Chile, entre otros

           Cálculo de volumen de una esfera con esferas de menor diámetro

http://www.youtube.com/watch?v=thBQqXBPQMA&feature=youtu.be

IGUALDAD DE PERIMETROS DE CIRCUNFERENCIAS

El perímetro de una circunferencia es igual a la suma de los perímetros de N circunferencias tangentes alineadas en su diámetro.

DEMOSTRACION:

Sean d1, d2,......, dn, los diámetros de las N circunferencias, y sean P1, P2, ..... , Pn los perímetros de dichas circunferencias. Ahora, el perímetro P de la Circunferencia de diámetro D es:

P =πD

=π(d1 + d2 + ..... + dn)

=πd1 + πd2 + ..... + πdn

=P1 + P2 + .... + Pn

NOTA: De Ejemplo Simple

La mínima expresion para el diámetro de la circunferencia antes de llegar a la unidad, es 2 unidades, por lo tanto, el perímetro de la circunferencia es 2 π. Podemos hacer 2 circunferencias de diámetro 1 U. tangentes y alineadas en su diámetro con perímetro para cada Una = π

EN FRANCES

Le périmètre d'un cercle est égale à la somme des périmètres des cercles tangents ligne N de diamètre.

DEMONSTRATION:

Sean d1, d2 ,......, dn, les diamètres des cercles de N, et sont P1, P2 ..... , Pn le périmètre de ces milieux. Maintenant, P le périmètre du cercle de diamètre D est:

P = πD

π = (d1 + d2 + + dn .....)

πd1 + + = πd2 ..... + Πdn

= P1 + P2 + .... Pn +

NOTE: Simple Exemple

Le minimum pour le diamètre du cercle avant que l'unité est de 2 unités, par conséquent, le périmètre du cercle est de 2 π. Nous pouvons faire 2 cercles d'un diamètre de 1 U. tangentes de diamètre et doublé d'un périmètre pour chaque π =

IGUALDAD DE PERIMETROS DE CUADRADOS

La suma de los perímetros de "n" cuadrados cualquiera es igual al perímetro de un cuadrado cuyo lado "L" es igual a la suma de los "n" cuadrados

Ilustración

para n = 4

Demostración

Sean L1, L2, L3, ......, Ln, los lados de los "n" cuadrados.

Sean P1, P2, P3, ......, Pn los perímetros de dichos cuadrados.

Ahora, el perímetro P del cuadrado de lado L es:

P = 4L

P = 4(L1 + L2 + L3  + .... + Ln)

P = 4L1 + 4L2 + 4L3 + ..... + 4Ln

P = P1 + P2 + P3 + .... + Pn

CONCLUSION 1

Con la igualdad de perímetros de circunferencias y la igualdad de perímetros de cuadrados, he llegado a la siguiente conclusión la cual fue publicada en la página 214 del Libro “Resúmenes – de la XVII Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa”  RELME17, Universidad Católica, Santiago de Chile – Julio 2003.

Extracto
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PN0505

ANALISIS DE LA NO IGUALDAD DE LA CURVA Y LA RECTA

Bases estructurales para la extensión del sistema de medidas

Walter Enrique Meyer Vergara

curiosidadesgeometricas@gmail.com

Campo de Investigación

Nivel Educativo: Todos los niveles

“La relación matemática de la curva y la recta es igual; Por ende lo es también para los cuadrados y las circunferencias, los cubos y las esferas”.  En términos simples podemos decir que del mismo modo como operamos con los cuadrados podemos hacerlo con las circunferencias y de igual forma como operamos con los cubos, operamos con las esferas de forma exacta.

El esquema formado por la circunferencia y el cuadrado constituido por sus tangentes, van de cero al infinito, también lo es para las esferas y el cubo formado por sus planos tangenciales, por lo tanto, se puede afirmar que la definición que tenemos de la recta que dice que es una curva de radio infinito, es falsa.

La conformación de un método para medir en forma EXACTA todo el mundo circular y esférico, acorde con los “tiempos que vienen”.

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Nota:  Cuando me refiero a la palabra "EXACTA" es en geometría y no en cuanto a los sistemas de medidas.

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CONCLUSION 2

Las siguientes láminas corresponden a la segunda parte del primer texto, las cuales son conclusiones prácticas sacadas del estudio de la igualdad de perímetros.   

Como podemos ver el metro lineal está dividido en 10 decimetros, pero el perímetro (contorno de las 10 circunferencias) es igual al perímetro del metro circunferencial.  Si el metro está dividido en 100 centímetros lineales, el perímetro de las 100 circunferencias es igual al perímetro del metro circunferencial,..., etc.  Esto rige de igual forma para otros sistemas de medidas, como por ejemplo:   La yarda o la nueva pulgada, etc.   Esto será explicado más adelante cuando avancemos con el estudio.

NUEVO ANALISIS DE SISTEMA DE MEDIDAS

PRIMERA REGLA PARA MEDIR  RECTAS Y PERÍMETROS DE CIRCUNFERENCIAS.

Maqueta de exposición

Maqueta representativa del metro lineal y circunferencial

Aprovecho de presentar en esta oportunidad el primer calibre (pie de metro) , ampliando la idea del primer metro que mide lineales con la nueva pulgada Chilena, lineales con el sistema métrico, presentado en la página 104-105 y 106 del primer texto y página  3  del Estudio de la Primera Yarda Chilena.

            Este pie de metro nos da de manera directa, al medir el diámetro de un eje,  el perímetro de la circunferencia,  facilitando al operario de una máquina herramienta el cálculo de la velocidad de corte.  Esta velocidad varía según el diámetro y por ende el perímetro de la pieza a maquinar y la especificación dada por el fabricante de cada herramienta.

 

Ejemplos de Instrumentos de medida ,aplicación y uso del sistema

 

Aplicación de los patrones metro y pulgada circunferencial a pie de metro y micrómetro para uso en desarrollos en procesos de mecanizados.

 

Si medimos el diámetro de un eje obtenemos directamente el perímetro,  facilitando al operario de una máquina herramienta el cálculo de la velocidad de corte. 

 V =   Velocidad  periférica del

         corte en metros por minuto

V  =   Pi  x DN  /  1000

N  = Número de revoluciones por

        minuto de la pieza (barra y

        cabezal del torno.

Con   este   micrometro podemos   medir    hasta   1” geométrica. Medir centímetros,  milímetros, décimas  y  centésimas  de mm.  Medir perímetros circunferenciales, etc.

Cálculo de superficie de círculo con círculos de menor diámetro con el nuevo sistema circular

Presento el método tradicional de cálculo para llegar a la fórmula del área de la superficie de un círculo, que es igual a PI x R2  (medido con unidades cuadradas) y poder compararlo con el nuevo sistema circular propuesto, en donde medimos la superficie de un círculo con círculos de menor diámetro, utilizando la fórmula  (2r)2 círculos.
Concluímos que la simpleza de ésta fórmula podría ayudar  a la didáctica de las matemáticas, tema tan recurrente en los congresos matemáticos.

CALCULO DE VOLUMENES CON NUEVO

SISTEMA DE MEDIDAS ESFERICO

ESTUDIO DE LA UNIDAD MÉTRICA LLAMADA LITRO

Sabemos que un litro equivale a 1.000 cm3 y sirve indistintamente para líquidos y áridos.

Lo hemos representado con una maqueta cúbica de acrílico de 10 cm de lados, que contiene 1.000 cubitos de madera  de 1cm³ cada uno (A).  Es evidente que si seguimos agrandando este volumen (200 litros, 50.000 litros, etc.) tenemos dificultades de transporte, resistencia de materiales, etc., por esto, nos vimos en la necesidad de hacer cilindros  (tambores de base redonda, elíptica o simplemente esferas).

Si hacemos un cilindro tenemos inexactitud  en la superficie del círculo (sup = p r²) y en su altura (h = 1.000/p r²) .  Ver probeta (B).

Ahora bien, con nuestro sistema de cálculo, podemos obtener exactitud de la superficie del círculo del cilindro, al calcular ésta con cmc (centímetros circulares) e inexactitud en su altura. Esto lo he representado con una probeta ( C ) de 2 litros (Pág. 107) que tiene 8 cm. de diámetro, por lo tanto, la superficie del círculo es igual a 64 cmc.


Con los 64 centímetros circulares hice cilindros de 39,788735... cm. de altura que tienen un volumen de 31,25 cm3 c/u (D). La maqueta con 64 cilindros de aluminio va acompañada de un cilindro de Aluminio y un tubo de vidrio (E), que contiene 59,6831... esferas de 1 cm de diámetro, cálculo obtenido de la relación que tenemos del cilindro y la esfera igual a 2/3. Esta relación obtenida por Arquímedes, la vemos en la maqueta (F), bastante didáctica que presenta además la igualdad de “Cilindro y Esfera”.

(F) Cilindro de diámetro d y de altura d = 1 ½  esfera de diámetro d

La nueva secuencia de maquetas (G-H, Pág. 108) demuestran esta vez con esferas una exactitud plena para estos cálculos, naturalmente para un nuevo litro que tiene una relación igual a p/6 con respecto a nuestro litro cúbico.

Presentamos nuevamente una maqueta cúbica de acrílico (G) de 10 cm de lado, pero esta vez con 1.000 cmE (centímetros esféricos) que equivalen exactamente a una esfera de 10 cm de diámetro (matraz esférica H).

Luego con una probeta de 5 cm de diámetros (I) calculamos la superficie del círculo con cmc (centímetros circulares) igual a 25 cmc. Con cada centímetro circular hacemos tubos  que contienen exactamente 40 esferas de 1 cm de diámetro, estas 40 esferas las multiplicamos por 2/3  y obtenemos cilindros de 1 cmc por 26,666... cm de alto (J).

Con los 25 cilindros (K) obtenemos exactamente el volumen de la probeta de diámetro 5 y la matraz de diámetro 10 cm. (I y H).

Nota:

El alto de los cilindros de aluminio, igual a 26,666...cm son en la práctica 26 cm (26 unidades) + 2/3 de 1cm exacto.

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Maqueta que representa físicamente la igualdad de volumen de una esfera de diámetro 4 unidades, que es igual a un cubo de esferas de diámetro 1 unidad (esto es un cubo de 64 unidades).

Después de este extracto del primer texto "Analisis de la No-Igualdad de la curva y la recta" pasaremos a analizar el Estudio de Superficies de Círculos y Cuadrados, que contiene un análisis más profundo del sistema curvo, circular y esférico.

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Agrega una descripcion

El perimetro de una circunferencia es igual a la suma de los perimetros de N circunferencias tangentes alineadas en su diametro. DEMOSTRACION: Sean d1, d2,......, dn, los diametros de las N circunferencias, y sean P1, P2, ..... , Pn los perimetros de dichas circunferencias. Ahora, el perimetro P de la Circunferencia de diametro D es: P =πD =π(d1 + d2 + ..... + dn) =πd1 + πd2 + ..... + πdn =P1 + P2 + .... + Pn NOTA: De Ejemplo Simple La minima expresion para el diametro de la circunferencia antes de llegar a la unidad, es 2 unidades, por lo tanto, el perimetro de la circunferencia es 2 π. Podemos hacer 2 circunferencias de diametro 1 U. tangentes y alineadas en su diametro con perimetro para cada Una = π EN INGLES The perimeter of a circle is equal to the sum of the perimeters of circles tangent line N in diameter. DEMONSTRATION: Sean d1, d2 ,......, dn, the diameters of circles N, and are P1, P2 ..... , Pn the perimeters of these circles. Now, the perimeter P of the circle diameter D is: P = πD π = (d1 + d2 + + dn .....) πd1 + + = πd2 ..... + Πdn = P1 + P2 + .... Pn + NOTE: Simple Example The minimum for the diameter of the circle before the unit is 2 units, therefore, the perimeter of the circle is 2 π. We can make 2 circles of diameter 1 U. tangents in diameter and lined with a perimeter for each π = EN FRANCES Le périmètre d'un cercle est égale à la somme des périmètres des cercles tangents ligne N de diamètre. DEMONSTRATION: Sean d1, d2 ,......, dn, les diamètres des cercles de N, et sont P1, P2 ..... , Pn le périmètre de ces milieux. Maintenant, P le périmètre du cercle de diamètre D est: P = πD π = (d1 + d2 + + dn .....) πd1 + + = πd2 ..... + Πdn = P1 + P2 + .... Pn + NOTE: Simple Exemple Le minimum pour le diamètre du cercle avant que l'unité est de 2 unités, par conséquent, le périmètre du cercle est de 2 π. Nous pouvons faire 2 cercles d'un diamètre de 1 U. tangentes de diamètre et doublé d'un périmètre pour chaque π = EN ITALIANO Il perimetro di un cerchio è pari alla somma dei perimetri di cerchio tangente linea N di diametro. DIMOSTRAZIONE: Sean D1, D2 ,......, dn, il diametro del cerchio N, e sono P1, P2 ..... , Pn il perimetro di tali ambienti. Ora, il perimetro P del cerchio di diametro D è il seguente: P = πD π = (D1 + D2 + + dn .....) πd1 + + = πd2 ..... + Πdn = P1 + P2 + .... Pn + NOTA: Semplice Esempio L'importo minimo per il diametro del cerchio prima che l'unità è di 2 unità, quindi, il perimetro del cerchio è pari a 2 π. Si possono fare 2 cerchi del diametro di 1 U. tangenti in diametro e rivestite con un perimetro di ciascun π = EN ALEMAN Der Umfang eines Kreises ist gleich der Summe der Begrenzungslinie der Kreise Tangente N Durchmesser. Demonstration: Sean D1, D2 ,......, dn, die Durchmesser der Kreise N, und P1, P2 ..... , Pn die Begrenzungslinie der diesen Kreisen. Nun, der Umfang des Kreises P Durchmesser D: P = πD π = (D1 + D2 + + dn .....) πd1 + + = πd2 ..... + Πdn = P1 + P2 + .... Pn + Hinweis: Einfache Beispiel Das Minimum für den Durchmesser des Kreises, bevor das Gerät 2 Stück, so dass der Umfang des Kreises ist 2 π. Wir können 2 Kreise mit einem Durchmesser von 1 u. Tangenten im Durchmesser und mit einem Umfang für jedes π = EN CHINO 周圍的一個圓圈等於總和周圍的圈子切線N的直徑。 示範： 肖恩素D1 ， D2類,......,腎病，直徑界N和正在的P1 ， P2的..... ， Pn的周邊這些圈子。現在，周邊P的圓圈，直徑D是： P值πD π = （蛋白D1 + D2類+ +的DN .....) πd1 + + = πd2 ..... + Πdn =酶P1 + P2的+ ....光合速率+ 注意：簡單的例子 最小的直徑的圓圈內，再是2個單位，因此，周圍的圓圈2 π 。我們可以使2圈直徑1美國切線的直徑和內襯周邊每個π = EN ARABE محيط الدائرة يساوي مجموع محيط لا يوجد خط مستقيم من دوائر قطرها. مظاهرة : شون D1 ، D2 ،......، dn ، وبأقطار من الدوائر نون ، وP1 ، P2..... ، والسندات الإذنية محيط هذه الاوساط. الآن ، ف من محيط دائرة قطرها دال : ف = πD π = (D1 + d2 + + dn.....) πd1 + + = πd2..... + Πdn = P1 + P2 +.... السندات الإذنية + ملاحظة : مثال بسيط الحد الأدنى للدائرة قطرها من قبل وحدة (2) وحدة ، وبالتالي ، محيط الدائرة هو 2 π. يمكننا أن نجعل من 2 دوائر قطرها 1 U. الظلال قطرها واصطف مع محيط كل π .